D E M O C R A T O P I A

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EL TEOREMA DE BAYES

Si quieres dejar de sentirte perdido o confundido en cuanto a la Teoría de la probabilidad, el teorema de Bayes es una herramienta útil que puedes usar, ¡incluso si eres un principiante! Este concepto es accesible desde los 12 años y puede ser una excelente manera de comenzar a comprender el tema.

Cuando asignamos un valor de probabilidad a un evento, es importante considerar el espacio de probabilidades en el que se encuentra. En situaciones donde conocemos todas las posibilidades, como lanzar un dado o una moneda, podemos determinar la probabilidad de un resultado utilizando la frecuencia de los resultados favorables. Por ejemplo, si lanzamos un dado seis veces, es probable que saquemos un dos una vez, ya que la probabilidad de sacar un dos es de 1/6.

En la vida cotidiana, es poco común que conozcamos todas las posibilidades en cuanto a un evento determinado. Por lo tanto, debemos estimar subjetivamente la probabilidad en relación al espacio muestral, y tener en cuenta que las diferentes opciones no siempre son equiprobables. La Teoría de la probabilidad se basa en una serie de axiomas que nos permiten entender mejor el concepto.

Veamos ahora cómo se aplican los axiomas de la teoría de la probabilidad a este espacio de probabilidades que hemos presentado:

  • El primer axioma establece que la probabilidad de cualquier suceso debe ser mayor o igual que 0 y menor o igual que 1. En este caso, por ejemplo, la probabilidad de sufrir un trastorno depresivo es de 0,30, lo que significa que hay un 30% de probabilidad de que un paciente sufra de depresión.
  • El segundo axioma establece que la suma de las probabilidades de todos los posibles sucesos en un espacio muestral es igual a 1. En este caso, la suma de las probabilidades de sufrir trastorno depresivo, fobia específica y problemas de ansiedad es igual a 1, ya que todos los pacientes pertenecen a uno de estos tres grupos.
  • El tercer axioma establece que si dos sucesos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de la disyunción de estos sucesos es igual a la suma de sus probabilidades. En este caso, la probabilidad de sufrir trastorno depresivo o fobia específica es igual a la suma de sus probabilidades individuales, es decir, 0,30 + 0,20 = 0,50.
  • El cuarto axioma establece cómo se calcula la probabilidad de la conjunción de dos sucesos, dependiendo de si son independientes o dependientes. En este caso, se aplica a los datos de curación de los pacientes. Por ejemplo, la probabilidad de que un paciente haya sido diagnosticado con problemas de ansiedad y se haya curado es igual a la probabilidad de tener problemas de ansiedad (0,50) multiplicada por la probabilidad de curarse dado que se tiene problemas de ansiedad (0,40), es decir, 0,50 x 0,40 = 0,20.

En resumen, el teorema de Bayes y la teoría de la probabilidad pueden ser herramientas útiles para entender y analizar diferentes situaciones y eventos, desde el lanzamiento de una moneda hasta el diagnóstico y tratamiento de trastornos psicológicos.

Thomas Bayes, en el siglo XVIII, formuló un teorema conocido como el Teorema de Bayes, que amplió los axiomas de la probabilidad y permitió el cálculo de la probabilidad condicional inversa, también conocida como probabilidad posterior o probabilidad a posteriori. Este cálculo no es directo debido a que, aunque conocemos el resultado (el paciente está curado), tenemos tres posibles diagnósticos previos o hipótesis de partida: depresión, fobia o ansiedad. El teorema de Bayes es la ley fundamental en la que se basa este tipo de inferencia probabilística, tanto cuando la información proviene de datos muestrales como de estimaciones subjetivas de probabilidad.

Para ilustrar estos axiomas, supongamos que Ana atendió a 100 pacientes en su consultorio psicológico el año pasado. De estos pacientes, 30 tenían trastornos depresivos, 20 fueron diagnosticados con fobias específicas y los 50 restantes tenían problemas de ansiedad.

Ahora imaginemos que elegimos uno de estos pacientes al azar y descubrimos que está curado. ¿Cuál es la probabilidad de que este paciente hubiera sido diagnosticado previamente con un trastorno depresivo?

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La probabilidad a priori de la hipótesis se denota como P(H), y en el problema que estamos tratando, la hipótesis relevante es P(depresión).

La diagnosticidad del dato para la hipótesis se representa como P(D|H). En este caso, el problema planteado es P(curación|depresión). Este valor se conoce como la capacidad del dato (curación) para diagnosticar la hipótesis, y puede darse en presencia de otras dos hipótesis alternativas: P(D|H2) o P(D|H3).

El producto de estos dos valores da lugar a la probabilidad conjunta de dos eventos dependientes: haber sido diagnosticado previamente de depresión y curarse dado el diagnóstico previo de depresión: P(H) x P(D|H). En el ejemplo dado, sería P(depresión) x P(curación|depresión).

La probabilidad condicional inversa o posterior es el problema que debemos resolver a partir de la información de la que disponemos. Se conoce como inversa de la condicional P(D|H) y se representa como P(H|D) o P(depresión|curación). En este caso, dado que un paciente extraído al azar está curado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido previamente diagnosticado de depresión? Esto se representa como P(H|D) o P(depresión|curación).

De acuerdo con el Teorema de Bayes, el cálculo consiste en dividir la probabilidad de los casos favorables por la suma de las probabilidades de todos los casos posibles. El axioma 4 explica el numerador del Teorema (probabilidad de los casos favorables), mientras que el axioma 3 explica el denominador (suma de las probabilidades de todos los casos posibles).

Volvamos al ejemplo de Ana y consideremos otro experimento de razonamiento probabilístico. El objetivo es analizar cómo los sujetos no expertos en teoría de la probabilidad resuelven el problema planteado sin realizar cálculos matemáticos.

Problema A: Seleccionamos un paciente al azar y encontramos que está curado. ¿Cuál de las siguientes opciones es más probable? a) Fue diagnosticado con fobia específica. b) Fue diagnosticado con ansiedad. Si el participante elige la opción a), su elección coincide con la de un porcentaje significativamente elevado de los participantes en el experimento, aunque su elección es incorrecta. Ahora analicemos el problema B y reflexionemos sobre la elección de Elena.

Problema B: Ana analiza qué variables explican que solo el 40% de los pacientes se curen de su ansiedad después de la primera fase del tratamiento. Cita a todos los pacientes curados en un día y a los que siguen en el proceso en otro día. Elena sufre de ansiedad y acude a la consulta para pedir cita el día que Ana cita a los pacientes curados. En la sala coincide con otros pacientes curados que le transmiten el éxito y rapidez de la curación después de la primera fase de tratamiento. Con esta información, Elena considera que la primera fase del tratamiento para la ansiedad que emplea Ana es a) altamente eficaz, b) parcialmente eficaz.

formula bayes

Elena selecciona la opción a) y su respuesta es incorrecta. ¿Qué información relevante para resolver ambos problemas no están considerando los participantes? En el problema A, el error se produce porque la mayoría de los participantes se centran en el valor del porcentaje de curación (70%), la importancia del dato en relación a la hipótesis, y no consideran la probabilidad a priori de sufrir el trastorno (20%). En el problema B, Elena no tiene toda la información relevante para resolver el problema, específicamente, la importancia del dato (la aplicación de la primera fase del tratamiento) en presencia de la hipótesis alternativa (el paciente no se ha curado).

Según Arieta Pinedo y González Labra (2011), la inferencia bayesiana permite incorporar probabilidades subjetivas tanto en la evaluación a priori como en la evaluación de las condiciones de un suceso. Estas probabilidades pueden obtenerse de diversas fuentes, como la evidencia, teorías previas o simplemente de las opiniones y creencias de la persona. Además, la hipótesis alternativa se refiere a la ausencia de la hipótesis focal, y su probabilidad complementaria se calcula aplicando el axioma 2 de la Teoría de la Probabilidad.

Por ejemplo, consideremos un ensayo clínico que evalúa la eficacia de un nuevo fármaco en el tratamiento de una enfermedad en particular. La inferencia bayesiana se puede utilizar para incorporar probabilidades subjetivas de diversas fuentes, como el conocimiento previo sobre la enfermedad, el diseño del estudio y las características de los participantes. La hipótesis alternativa en este caso sería que el fármaco es ineficaz, y su probabilidad complementaria se calcularía utilizando principios de la teoría de la probabilidad. Al utilizar la inferencia bayesiana, los investigadores pueden tomar decisiones más informadas basadas en una evaluación exhaustiva de la evidencia disponible y las probabilidades subjetivas.

ejemplo bayes
Teorema-de-Bayes

REFERENCIAS 

  • RESUMEN M. GORETTI GONZÁLEZ
  • GONZÁLEZ LABRA, M., SÁNCHEZ BALMASEDA, P., & ORENES CASANOVA, I. (2019). PSICOLOGÍA DEL PENSAMIENTO. MADRID: SANZ Y TORRES.
  • Colimón, K. (1990). Fundamentos de epidemiologia . Madrid: Díaz de Santos.
  • Youtube

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