Thomas Bayes ✝️(1702-1761)fue un matemático y ministro presbiteriano inglés nacido en 1702. Es conocido principalmente por formular el Teorema de Bayes, una fórmula que describe la probabilidad de un evento, basada en el conocimiento previo de condiciones que podrían estar relacionadas con el evento.
El teorema de Bayes permite calcular la probabilidad condicionada de un evento A dado B en términos de la probabilidad condicionada de B dado A y las probabilidades marginales de A y de B. Esto se representa típicamente en la fórmula:
$$P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}$$
donde P(A\B) es la probabilidad de A dado que B es verdadero, P(B\A) es la probabilidad de B dado que A es verdadero, P(A) es la probabilidad de A y P(B) es la probabilidad de B.
Bayes nunca publicó su teorema en vida. Fue su amigo Richard Price quien encontró el ensayo de Bayes sobre la probabilidad después de su muerte y lo presentó a la Royal Society en 1763, dos años después de que Bayes falleciera. El trabajo de Bayes no recibió mucha atención hasta que Pierre-Simon Laplace lo redescubrió y lo usó para desarrollar una teoría matemática de la probabilidad estadística.
El concepto de probabilidad inversa es fundamental en la estadística moderna, la toma de decisiones y la inferencia bayesiana. La inferencia bayesiana, en particular, ha ganado prominencia en el siglo XXI, ya que permite incorporar la incertidumbre y las creencias previas en el análisis estadístico y se ha aplicado en innumerables campos, desde el aprendizaje automático hasta la investigación médica.
En el ámbito académico, la relevancia de Bayes continúa creciendo, ya que su enfoque permite una actualización continua de la probabilidad a medida que se adquiere nueva evidencia. Esto contrasta con la inferencia frecuentista, que interpreta la probabilidad de un evento como la frecuencia con la que ocurre en una serie de ensayos. El enfoque bayesiano ofrece una perspectiva más flexible y adaptativa, alineándose con el enfoque científico de formular hipótesis y ajustarlas en función de la observación y experimentación.
Ejemplo: Supongamos que tienes dos bolsas, A y B. La bolsa A contiene 3 manzanas rojas y 1 verde, mientras que la bolsa B contiene 1 manzana roja y 3 verdes. Escoges una bolsa al azar y luego sacas una manzana, la cual resulta ser verde. ¿Cuál es la probabilidad de que la manzana verde provenga de la bolsa B?
Definición de eventos:
- A: Sacar una manzana de la bolsa A.
- B: Sacar una manzana de la bolsa B.
- G: Sacar una manzana verde.
Lo que queremos calcular: La probabilidad de que la manzana verde provenga de la bolsa B, es decir, P(B\G).
Información dada:
- La probabilidad de elegir la bolsa A (P(A)) es 1/2, ya que hay dos bolsas.
- La probabilidad de elegir la bolsa B (P(B)) es también 1/2.
- La probabilidad de sacar una manzana verde de la bolsa A (P(G\A)) es 1/4.
- La probabilidad de sacar una manzana verde de la bolsa B (P(G\B)) es 3/4.
Aplicación del Teorema de Bayes:
La fórmula del Teorema de Bayes en LaTeX es:
$$P(B|G) = \frac{P(G|B) \cdot P(B)}{P(G)}$$
Para calcular P(G), la probabilidad total de sacar una manzana verde, usamos la ley total de la probabilidad:
$$P(G) = P(G|A) \cdot P(A) + P(G|B) \cdot P(B)$$
Sustituimos los valores conocidos en la fórmula:
$$P(G) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{1}{2}$$
Ahora que tenemos P(G), podemos sustituir todos los valores en la fórmula del Teorema de Bayes:
$$P(B|G) = \frac{P(G|B) \cdot P(B)}{P(G)} = \frac{\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{4}$$
Por lo tanto, la probabilidad de que la manzana verde provenga de la bolsa B es 3/4 o 75%.