Desde sus inicios en la filosofía griega, la lógica perseguía la identificación de unas leyes de razonamiento que fueran universales y por ello se centró en el análisis de la forma o estructura de los argumentos. El estudio de la deducción se centra en el análisis de los principios del razonamiento que permiten alcanzar un razonamiento formalmente válido independiente del contenido.
Desde Aristóteles y durante los 2.000 años siguientes, la deducción era el estudio de las conexiones entre proposiciones. Las proposiciones son enunciados en los que se afirma o se niega algo y en los que se establece una relación entre sujeto y predicado (ej., todos los A son B). El análisis de la deducción se centraba en el establecimiento de las conexiones encadenadas de un silogismo o grupo de silogismos por medio de la cópula “es”. El silogismo es un argumento en el que la conclusión establece una nueva conexión entre las proposiciones a través de un término medio que las relaciona (ej., en el argumento “todos los A son B, todos los B son C, luego todos los A son C” el término medio B ha permitido una nueva conexión entre A y C).
Las proposiciones se convirtieron en la unidad básica de análisis y Frege, a finales de siglo XIX, considera que las proposiciones pueden tratarse como funciones matemáticas, desarrollando un marco de análisis más potente y flexible que la silogística aristotélica. Es a Principios del siglo XX, cuando Whitehead y Russell (1910-1913) desarrollan formalmente el cálculo de predicados y amplían el análisis de las proposiciones a otras formas relacionales distintas de la cópula “es”. Esta nueva lógica matemática emplea símbolos por analogía con las matemáticas y analiza las relaciones y funciones entre las proposiciones. De esta forma se logra el cálculo con una notación simbólica, haciendo posible operar formalmente sin una contaminación de los contenidos.
La deducción se entiende como el proceso mediante el cual los enunciados se derivan de otros de un modo puramente formal y esta derivación se realiza por la aplicación de las reglas de deducción.
De acuerdo con la notación simbólica:
- Las proposiciones se representan por letras, generalmente p, q, r, s.
- Los operadores (términos de enlace) por símbolos que determinan la forma de una proposición lógica. La representación simbólica de las proposiciones son variables y la representación de los operadores son constantes y se corresponden con los términos “y”, “o”, “no”, “si…entonces” y “si y sólo si”.
Los términos de enlace (operadores lógicos) conectan dos proposiciones, excepto el término “no” que actúa sobre una. Si hay que representar la agrupación de proposiciones con más de un operador lógico se utilizan los paréntesis con el fin de indicar el operador que domina. De no haber paréntesis se entiende que el operador menos frecuente es el que se corresponde con la negación, seguido de la conjunción y la disyunción que tienen la misma potencia y por último el condicional que es el más fuerte.
EJEMPLO 1. Si me pagan las horas extra entonces estoy contento y trabajo feliz
Representación simbólica p? (q ? r)
En el primer ejemplo podemos observar que el condicional actúa como término de enlace entre la proposición «Si me pagan las horas extra» (el antecedente) y «estoy contento y trabajo feliz» (el consecuente). Además, el consecuente de este condicional se encuentra constituido por una conjunción. Su representación simbólica sería p ? (q /\ r), aunque en este caso no hacen falta los paréntesis porque el condicional tiene prioridad sobre los otros operadores.
EJEMPLO 2. Si me pagan las horas extra entonces estoy contento y a la vez trabajo feliz
Representación simbólica (p ?q) ? r
El segundo ejemplo es una conjunción entre la proposición «Si me pagan las horas extra entonces estoy contento» y «a la vez trabajo feliz». La primera proposición de esta conjunción, a su vez, está constituida por dos proposiciones: «Si me pagan las horas extra» y «estoy contento» con el condicional como término de enlace. La representación simbólica de este segundo ejemplo sería (p ? q) /\ r. En este caso los paréntesis son necesarios para indicar que la conjunción domina en esta agrupación.
Las proposiciones formalizadas reciben el nombre de fórmulas lógicas y éstas se corresponden con las premisas de un argumento. Las reglas de inferencia permiten dar el paso lógico que conduce de las premisas a la conclusión (pasar de una proposición a otra). Cuando se dice que un argumento es válido se entiende que la conclusión es una consecuencia lógica de las premisas en el que cada paso se deduce por medio de una regla de inferencia.
REGLAS DE INFERENCIA (Suppes y Hill, 1968):
- Regla de simplificación (S): si las premisas son ciertas, entonces se puede concluir p y se puede concluir q.
- Ley de Adjunción (A): si ambas premisas son ciertas se pueden juntar en la conclusión y el orden es indiferente.
- Doble Negación (DN): permite pasar de una premisa única a la conclusión con la doble negación.
- Ley de Adición (LA): conviene aclarar que el significado de la disyunción en lógica es incluyente en el sentido de que por lo menos un miembro de la disyunción es cierto y pueden serlo ambos. Esta ley expresa que, si una premisa es cierta, entonces la disyunción de esta premisa y otra cualquiera también lo es.
Leyes Conmutativas: el orden de las premisas es una conjunción y en una disyunción no altera su significado.
- Modus Tollendo Ponens (TP): si hay dos premisas unidas por la disyunción y se niega una de ellas, entonces se puede concluir la otra premisa.
- Modus Tollendo Tollens (TT): si hay dos premisas unidas por el condicional y se niega el consecuente, entonces se puede concluir con la negación del antecedente.
- Modus Ponendo Ponens (PP): en el condicional la proposición p se denomina antecedente y la proposición q consecuente. Esta regla dice que, si hay dos premisas unidas por el condicional y se verifica el antecedente, entonces se puede concluir el consecuente.
- Ley del Silogismo Disyuntivo (SD): si hay una premisa disyuntiva y dos premisas condicionales cuyos antecedentes coincidan con los miembros de la disyunción, entonces se puede concluir con una disyunción cuyos miembros son los dos consecuentes de las premisas condicionales.
- Ley del Silogismo Hipotético(SH): si hay dos premisas condicionales y el antecedente de la segunda coincide con el consecuente de la primera, entonces se puede concluir con otra proposición condicional cuyo antecedente coincide con el antecedente de la primera y el consecuente con el consecuente de la segunda.
- Ley de las Proposiciones Bicondicionales (LB): ilustra cómo se pueden deducir dos proposiciones condicionales de una proposición bicondicional. Si hay una premisa bicondicional, entonces se puede concluir que el antecedente implica el consecuente y que el consecuente implica el antecedente o la conjunción de ambos condicionales. También se puede concluir con un bicondicional a partir de una premisa en la que el antecedente implica el consecuente y otra premisa en la que el consecuente implica el antecedente.
- Regla de Premisas: permite introducir una premisa en cualquier punto de la deducción.
Ejemplos de una deducción formal.
El objetivo es ir acercándose paso a paso hacia una conclusión válida.
Se puede saber si un razonamiento deductivo es válido cuando a partir de premisas que son verdaderas se sigue una conclusión verdadera por la aplicación de las reglas de inferencia. Sin embargo, estas reglas no agotan el número de inferencias válidas. Este método general se conoce como tablas básicas de verdad, método semántico o de teorías de modelos y es un método rápido y mecánico para comprobar la validez de un argumento. Se parte del supuesto de que cualquier proposición sólo puede tener dos valores: verdadero o falso.
Como se puede ver, en las tablas de verdad se establecen todas las combinaciones posibles de los valores de verdad de las proposiciones (premisas y conclusiones) y se busca alguna combinación en la que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Si no la hay, el razonamiento válido se encontraría en la línea en la que las premisas y la conclusión sean todas verdaderas. Veamos a continuación un ejemplo de la aplicación del método de las tablas de verdad con un argumento válido y otro no válido.
Se establecen todas las combinaciones posibles de los valores de verdad de las proposiciones, tanto premisas como conclusiones y se busca alguna combinación en la que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Si no la hay, el razonamiento válido se encontraría en la línea en la que las premisas y la conclusión sean todas verdaderas.
Ejemplo de inferencia válida de modus tollendo tollens:
Las proposiciones son p y q, las premisas p ? q , y ¬ q y la conclusión ¬p. Para construir la tabla comenzamos por asignar los valores a las proposiciones:
- p y q. Dado que para cada una de ellas solo hay dos valores posibles (V o F) tendremos una tabla 2 x 2, que se corresponde con el nº de combinaciones posibles de los valores de verdad. El nº de posibles combinaciones de los valores de verdad dependerá del nº de proposiciones (n) siendo la regla 2n, donde n es el número de proposiciones.
La tabla de verdad para el modus tollendo tollens es la siguiente:
Como puede verse por los valores de verdad de las premisas y la conclusión, no hay ningún caso en el que siendo las premisas verdaderas se alcance una conclusión falsa y en la cuarta línea encontramos el razonamiento válido.
A continuación, veremos un argumento inválido que se conoce como la falacia de afirmar el consecuente:
La tabla de la verdad para este segundo argumento es la siguiente:
Como podemos ver en esta segunda tabla de verdad, la tercera línea indica que hay una combinación posible en la que siendo verdaderas las premisas se puede obtener una conclusión falsa. Por tanto, este argumento no es válido y se trata de es un error bastante frecuente del razonamiento humano.
Para examinar la forma lógica de la propia proposición, se utiliza el cálculo de predicados donde se analiza la estructura interna descomponiendo una proposición en términos (expresión con la que se nombra un único objeto) y predicados (aquello que se dice de los términos). Para los predicados se suelen utilizar las letras F, G, H, … y para los términos las letras x,y,z, colocándose el predicado delante del término que va entre paréntesis. “Ramona es una estibadora” Ramona es el término (x) y “es una estibadora” es el predicado, se expresa “F(x)”.
En el cálculo de predicados también se distingue entre términos generales o específicos. La cuantificación de la generalidad puede ser universal (?) (todo, cualquiera, para cada x, cada x, para todo x) o existencial (?) (algún, algunos, algunas) donde existe al menos un objeto al que se le puede aplicar el predicado.
| SIMBOLO | |
| cuantificador universal | ? |
| cuantificador existencial | ? |
REFERENCIAS
- Resumen M. Goretti González
- González Labra, M., Sánchez Balmaseda, P., & Orenes Casanova, I. (2019). Psicología del pensamiento. Madrid: Sanz y Torres.